Endomorphism Ring

定义 Definition

Endomorphism ring（自同态环）：在代数中，给定一个对象（常见如群、阿贝尔群、模、向量空间等），它到自身的所有同态（endomorphisms）在“加法”为逐点相加、“乘法”为复合映射的运算下形成的一个环，记作 **End(X)**。在模论中常指 **End_R(M)**（R-模 M 的自同态环）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛndoʊˈmɔːrfɪzəm rɪŋ/

例句 Examples

For an abelian group (A), the set (\mathrm{End}(A)) forms an endomorphism ring under addition and composition.
对一个阿贝尔群 (A)，(\mathrm{End}(A)) 在加法与复合运算下构成一个自同态环。

In module theory, understanding the endomorphism ring (\mathrm{End}_R(M)) can reveal whether (M) decomposes into simpler submodules.
在模论中，研究自同态环 (\mathrm{End}_R(M)) 常能揭示 (M) 是否可以分解为更简单的子模。

词源 Etymology

该术语由两部分构成：endo- 源自希腊语，意为“内部、在……之内”；morphism 来自希腊语 morphē（形状、形式），在数学中指“保持结构的映射”；ring 指“环”，即带加法与乘法（这里的“乘法”常取映射复合）的代数结构。合起来表示“对象内部（到自身）的结构保持映射所组成的环”。

相关词 Related Words

• Endomorphism
• Homomorphism
• Automorphism
• Ring
• Module
• Category
• Functor
• Composition

文学与著作中的用例 Literary Works

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician（讨论范畴中对象的自同态与其组成结构，常用到 (\mathrm{End}(X)) 及相关概念）
• Serge Lang, Algebra（在群、模与环的章节中出现自同态环/自同态代数的讨论）
• David S. Dummit & Richard M. Foote, Abstract Algebra（在模、线性代数观点与结构理论相关处会出现 (\mathrm{End}(V))、(\mathrm{End}(M)) 等表述）